ÇARPANLAR VE KATLAR KONU ANLATIMI 8.SINIF (TEXT) MATKAP 8.1

Çarpanlar ve Katlar

1.Bölüm

Çarpan ne demektir?

** Çarpım durumunda bulunan tüm değer ve matematiksel ifadelerin her birine çarpan denir. Örneğin;  36=3.12 yazımında 3 ve 12 sayıları 36’nın bir çarpanıdır. Veya 5a=5.a ifadesinde 5 ve a ifadeleri 5a’nın bir çarpanıdır.

Uyarı: Bir sayının çarpanları aynı zamanda o sayının bölenleridir. Bu nedenle çarpan sözcüğü yerine bölen sözcüğü kullanılabilir.

Kat ne demektir?

** Çarpanlarından bahsedilebilen her türlü değer ve matematiksel ifadelere kat denir. Örneğin;   -12=-3.4 yazımında -12 bir kattır. -3’ün 4 katı veya 4’ün -3 katıdır.

A) Sayıların Pozitif Tamsayı Bölenleri(Çarpanları);

Sayıların bölenlerinin bulmak için bölünebilme kurallarından faydalanırız.

Hatırlatma: Temel Bölünebilme Kuralları

* 2 ile tam bölünebilme: Sayının birler basamağı çift olmalı yani 0,2,4,6,8 sayılarından biri olmalı.

* 3 ile tam bölünebilme: Sayının yazımında kullanılan tüm rakamların toplamı üçün bir katı olmalı.

* 4 ile tam bölünebilme: Sayının son iki basamağını oluşturan iki basamaklı sayı dörde tam bölünmeli (birler ve onlar basamaklarının oluşturduğu sayı).

* 5 ile tam bölünebilme: Sayının birler basamağı 0 veya 5 den biri olmalı.

* 6 ile tam bölünebilme: Sayı 6 sayısını oluşturan 3 ve 2 sayılarının ikisine de tam bölünmeli.

* 8 ile tam bölünebilme: Sayının son üç basamağını oluşturan üç basamaklı sayı sekize tam bölünmeli (birler, onlar ve yüzüler basamaklarının oluşturduğu sayı).

* 9 ile tam bölünebilme: Sayının yazımında kullanılan rakamların toplamı dokuzun bir katı olmalı.

* 10 ile tam bölünebilme: Sayının son basamağı (birler basamağı) sıfır olmalı.

Uyarı: Bir sayının yukarıda kuralı verilmeyen bir sayıya tam bölünüp bölünemediğini anlamak için sayıya yaklaşma yolu kullanılır(Korsan Yol). Örneğin 329 sayısının 13’e tam bölünüp bölünemediği anlamak için 329 sayısına en yakın kolay elde edilebilen 13 sayısının bir katı düşünülür. 329 sayısı için en kolay düşünülebilecek sayı 260 dır. 329 sayısının 260’lık kısmı 13’e tam bölünebildiği için bu kısım 329’dan atılır ve kalan 69’un 13 e bölünüp bölünemediği sorgulanır. Tabi ki bu işlemler zihinden hızlı bir şekilde halledilmelidir. 69 sayısı 13’ün tam katı değildir, çünkü 5x13=65 yapar. Kalan 4 tam bölünebilmeyi engeller.

Örneğin; 3457 sayısı 27’tam 11’e tam bölünür mü sorusunun cevabı için 3457Een yakın ve kolay bulunabilecek 11’in katı 3300 dür. 3300’lükkısım atılırsa geriye 157 kalır. Burada da en yakın 110 seçilebilir. Geriye kalan 37 olur. 37 sayısının 11’in katı olmadığı bellidir. Bu nedenle 3457 sayısı 11’in katı değildir.

Uyarı: 6 ile bölünebilme kuralında olduğu gibi büyük bir sayının bölünebilme kuralı geliştirilebilir. Örneğin bir sayının 24 sayısına tam bölünebilmesi için 24’ün çarpanları olan 3 ve 8 sayılarına (ikisine de) tam bölünebilmesi gerekir. Çünkü 3x8=24 tür. Ancak sayının aralarında asal olan çarpanları seçilmelidir. Yani 6x4=24 olsa da  24 için 4 ve 6 ile bölünebilirliğe bakılmaz. Aralarında asal konusu çarpanlar ve katlar konusunun son kazanımıdır.

Bu bilgiler ışığında 84 sayısının pozitif tam sayı bölenlerini bulalım.

84 sayısı 2’ye ve 3,4,6,7,12,14,21, 28,42,84 sayılarına tam bölünebildiği için 84’ün pozitif tamsayı çarpanları;

84:1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84 tür.

Şimdi de 144 sayısının pozitif tamsayı bölenlerini bulalım

144 sayısı 2’ye, 3’e, 4’e ve 6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144 sayılarına tam bölünür.

Bundan dolayı 144 sayısının pozitif tam sayı çarpanları;

144:1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144 şeklindedir.

Önemli Bilgi: Yukarıda çarpanları verilen 144 sayısında da olduğu gibi sayının çarpanlarının eksik olup olmadığı kontrol etmek için

*Baştan birinci ile sondan birinci (1x144=144)

*Baştan ikinci ile sondan ikinci (2x72=144)

*Baştan üçüncü ile sondan üçüncü (3x48=144)

*Baştan dördüncü ile sondan dördüncü (4x36=144)…

Şeklinde çarpanlar çarpılarak çarpanları bulunan sayı elde edilir. . Bu şekilde bir sağlama yapılmış olur.

Ayrıca bu yol ile soldaki küçük bölenler bulunurken sağdaki büyük bölenler de kolay şekilde elde edilebilir.

Ayrıntılı bilgi için: https://www.youtube.com/watch?v=3wuSMj-eCoM

Uyarı: 144 sayısının tamsayı çarpanları;

144:1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144 şeklindedir.

Buna göre;

144’ün pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı 15 tanedir.

Peki, 144 dün tüm tamsayı bölenleri kaç tanedir?

144=1.144 veya 144=2.72 v.b şeklinde yazılabildiği için 144 sayısının çarpanları içinde 1,2,144,72… v.b vardır.

Ancak 144=-1.-144 veya 144=-2.-72 şeklinde de yazılabilir. Bu nedenle;

-1,-2,-3,-4,-6,-8,-9,-12,-16,-18,-24,-36,-48,-72,-144 sayıları da 144’ün birer tam sayı bölenidir. Bundan dolayı 144’ün pozitif tamsayı bölenleri kadar bir de onların negatif işaretlisi olan negatif tamsayı bölenleri vardır. Yani;

144’ün pozitif tam sayı bölenler 15 tanedir.

144’ün negatif tam sayı bölenleri 15 tanedir,

144’ün tüm tamsayı bölenleri 30 tanedir.

144’ün tamsayı bölenlerinin toplamı sıfırdır. (artılar eksileri sıfırladığı için.)

**8.sınıf kazanımları sadece pozitif tam sayı bölenleri buldurmaya yöneliktir.

Önemli Bilgi: Sayının Asal Çarpanları

Sayının pozitif çarpanlarının içinde ki asal olan sayılar kullanılan sayının asal çarpanlarıdır.

Örneğin; 54 sayısının çarpanları: 54=1,2,3,6,9,18,27,54 tür.

Bu çarpanlar içinde bulunan 2 ve 3 sayıları asaldır. Bu nedenle 54 sayısının asal çarpanları 2  ve 3 tür.

Asal sayılar ile ilgili ayrıntılı bilgi için TIKLAYINIZ

B) Sayıların Çarpanlarının Çarpımı Şeklinde Yazılması;

120=30.4=15.2.4=3.5.2.4=3.5.2.2.2 gibi çarpanlarının çarpım durumundaki haline çarpanlarının çarpımı olarak yazma denir. Yani; 30.4 ifadesi 120 sayısının çarpanlarının çarpımı şeklinde yazımıdır. Benzer şekilde, 15.2.4 , 3.5.2.4  ve 3.5.2.2.2 ifadeleri de 120 sayısının çarpanlarının çarpımı şeklinde yazımıdır.

Örneğin; 70 sayısının çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali;

70=14.5=2.7.5 şeklindedir.

C) Sayıların Asal Çarpanlarının Çarpımı Şeklinde Yazılması;

Sayılar çarpanlarının çarpımı şeklinde yazıldığında daha fazla parçalanamaz halde ki durum sadece asal sayılardan oluşan durumdur. Bu nedenle bu haldeki çarpanların çarpımına özel olarak asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma denir.

Örneğin;  80=8.10=4.2.5.2=2.2.2.5.2 ifadesinde sayılar parçalanarak farklı farklı çarpanların çarpımı şeklinde yazma işlemi yapılmıştır. En sonda bulunan 2.2.2.5.2 ifadesi sadece asal sayılardan oluşan daha fazla parçalanamaz haldedir. İşte bu yazıma asal çarpanların çarpımı şeklinde yazma denir.

Örnek; 200=10.20=5.2.5.4=5.2.5.2.2  ifadesinde

10.20     5.2.5.4    ve    5.2.5.2.2 ifadeleri 200 sayısının çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hallerinden üçüdür.

Bu hallerden 5.2.5.2.2 ifadesi daha fazla parçalanamaz asal çarpanların çarpımı şeklinde yazımıdır.

Sayının asal çarpanlarının çarpımını bulmak için çoğunlukla Bölme Algoritması yöntemi kullanılır.

Bölme Algoritması İle Asal Çarpan Yazımı

Algoritma ne demektir?

Algoritma; yapılacak bir işi veya bir çözümü yaptırtmak için uygulanması gereken yönerge şeklinde tanımlanabilir. Daha çok bilgisayar programcıları ve matematikçiler kullanır.

Örnek bir algoritma;

Şimdi gelelim bölme algoritmasına;

Sayının bölünebildiği asal sayılar bölme çizgisinin sağına bölüm sonucu sol kısma yazılır. 180 sayısının bölme algoritması ile asal çarpanlarının çarpımını yazalım;

Ayrıca bu yol ile elde edilen 2.2.3.3.5 ifadesinden şu çıkarımı da yapabiliriz. 180’in asal çarpanları 2,3 ve 5 tir.

D) Sayıların Üslü Sayı Biçiminde İfadesi;

Sayının çarpanlarının çarpımı veya asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali genellikle tekrarlı çarpımlar içerir. Bu nedenle o yazımları üslü ifade ile göstermek kolaylık sağlar.

Örnek; 275 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılması ve üslü ifade biçiminde gösterilmesi bölme algoritması ile aşağıdaki şekilde bulunabilir.

E) Asal Çarpanlarının Çarpımı Verilen Sayıyı Bulma;

2.2.3.5.5 Biçiminde asal çarpanlarının çarpımı verilen sayı çarpma işlemi yapılarak 300 olarak hesaplanabilir.

Benzer şekilde,

3.3.7 Biçiminde asal çarpanlarının çarpımı verilen sayı çarpma işlemleri yapıldığında 63 olarak hesaplanabilir.

F) Asal Çarpanlarının Çarpımı Üslü Sayı Biçiminde Verilen Sayıları bulma;

Üslü sayıların değerleri bulunup çarpma işlemleri yapılarak sayılar bulunabilir.

G) Üslü İfadeli Yazımda İstenen Değişkenin Değerini Yerine Yazma;

Ğ) Çarpan Ağacı ile Çarpan Bulma;

Çarpan bulmanın en ilkel yolarından biridir. Sayı ilk aşamada iki çarpanı ile dallara ayrılır. Daha sonra çarpanların ayrılan dallar oluşturulur.

Buraya kadar olan kısımda çarpanlar ve katlar ile ilgili temel konulardan bahsedilmiştir. 2.bölüm de ise ebob ve ekok konuları ele alınacaktır.