ÇARPANLAR VE KATLAR KONU ANLATIMI 8.SINIF (TEXT) MATKAP 8.1

Çarpanlar ve Katlar

1.Bölüm

Çarpan ne demektir?

** Çarpım durumunda bulunan tüm değer ve matematiksel ifadelerin her birine çarpan denir. Örneğin;  36=3.12 yazımında 3 ve 12 sayıları 36’nın bir çarpanıdır. Veya 5a=5.a ifadesinde 5 ve a ifadeleri 5a’nın bir çarpanıdır.

Uyarı: Bir sayının çarpanları aynı zamanda o sayının bölenleridir. Bu nedenle çarpan sözcüğü yerine bölen sözcüğü kullanılabilir.

Kat ne demektir?

** Çarpanlarından bahsedilebilen her türlü değer ve matematiksel ifadelere kat denir. Örneğin;   -12=-3.4 yazımında -12 bir kattır. -3’ün 4 katı veya 4’ün -3 katıdır.

A) Sayıların Pozitif Tamsayı Bölenleri(Çarpanları);

Sayıların bölenlerinin bulmak için bölünebilme kurallarından faydalanırız.

Hatırlatma: Temel Bölünebilme Kuralları

* 2 ile tam bölünebilme: Sayının birler basamağı çift olmalı yani 0,2,4,6,8 sayılarından biri olmalı.

* 3 ile tam bölünebilme: Sayının yazımında kullanılan tüm rakamların toplamı üçün bir katı olmalı.

* 4 ile tam bölünebilme: Sayının son iki basamağını oluşturan iki basamaklı sayı dörde tam bölünmeli (birler ve onlar basamaklarının oluşturduğu sayı).

* 5 ile tam bölünebilme: Sayının birler basamağı 0 veya 5 den biri olmalı.

* 6 ile tam bölünebilme: Sayı 6 sayısını oluşturan 3 ve 2 sayılarının ikisine de tam bölünmeli.

* 8 ile tam bölünebilme: Sayının son üç basamağını oluşturan üç basamaklı sayı sekize tam bölünmeli (birler, onlar ve yüzüler basamaklarının oluşturduğu sayı).

* 9 ile tam bölünebilme: Sayının yazımında kullanılan rakamların toplamı dokuzun bir katı olmalı.

* 10 ile tam bölünebilme: Sayının son basamağı (birler basamağı) sıfır olmalı.

Uyarı: Bir sayının yukarıda kuralı verilmeyen bir sayıya tam bölünüp bölünemediğini anlamak için sayıya yaklaşma yolu kullanılır(Korsan Yol). Örneğin 329 sayısının 13’e tam bölünüp bölünemediği anlamak için 329 sayısına en yakın kolay elde edilebilen 13 sayısının bir katı düşünülür. 329 sayısı için en kolay düşünülebilecek sayı 260 dır. 329 sayısının 260’lık kısmı 13’e tam bölünebildiği için bu kısım 329’dan atılır ve kalan 69’un 13 e bölünüp bölünemediği sorgulanır. Tabi ki bu işlemler zihinden hızlı bir şekilde halledilmelidir. 69 sayısı 13’ün tam katı değildir, çünkü 5x13=65 yapar. Kalan 4 tam bölünebilmeyi engeller.

Örneğin; 3457 sayısı 27’tam 11’e tam bölünür mü sorusunun cevabı için 3457Een yakın ve kolay bulunabilecek 11’in katı 3300 dür. 3300’lükkısım atılırsa geriye 157 kalır. Burada da en yakın 110 seçilebilir. Geriye kalan 37 olur. 37 sayısının 11’in katı olmadığı bellidir. Bu nedenle 3457 sayısı 11’in katı değildir.

Uyarı: 6 ile bölünebilme kuralında olduğu gibi büyük bir sayının bölünebilme kuralı geliştirilebilir. Örneğin bir sayının 24 sayısına tam bölünebilmesi için 24’ün çarpanları olan 3 ve 8 sayılarına (ikisine de) tam bölünebilmesi gerekir. Çünkü 3x8=24 tür. Ancak sayının aralarında asal olan çarpanları seçilmelidir. Yani 6x4=24 olsa da  24 için 4 ve 6 ile bölünebilirliğe bakılmaz. Aralarında asal konusu çarpanlar ve katlar konusunun son kazanımıdır.

Bu bilgiler ışığında 84 sayısının pozitif tam sayı bölenlerini bulalım.

84 sayısı 2’ye ve 3,4,6,7,12,14,21, 28,42,84 sayılarına tam bölünebildiği için 84’ün pozitif tamsayı çarpanları;

84:1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84 tür.

Şimdi de 144 sayısının pozitif tamsayı bölenlerini bulalım

144 sayısı 2’ye, 3’e, 4’e ve 6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144 sayılarına tam bölünür.

Bundan dolayı 144 sayısının pozitif tam sayı çarpanları;

144:1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144 şeklindedir.

Önemli Bilgi: Yukarıda çarpanları verilen 144 sayısında da olduğu gibi sayının çarpanlarının eksik olup olmadığı kontrol etmek için

*Baştan birinci ile sondan birinci (1x144=144)

*Baştan ikinci ile sondan ikinci (2x72=144)

*Baştan üçüncü ile sondan üçüncü (3x48=144)

*Baştan dördüncü ile sondan dördüncü (4x36=144)…

Şeklinde çarpanlar çarpılarak çarpanları bulunan sayı elde edilir. . Bu şekilde bir sağlama yapılmış olur.

Ayrıca bu yol ile soldaki küçük bölenler bulunurken sağdaki büyük bölenler de kolay şekilde elde edilebilir.

Ayrıntılı bilgi için: https://www.youtube.com/watch?v=3wuSMj-eCoM

Uyarı: 144 sayısının tamsayı çarpanları;

144:1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144 şeklindedir.

Buna göre;

144’ün pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı 15 tanedir.

Peki, 144 dün tüm tamsayı bölenleri kaç tanedir?

144=1.144 veya 144=2.72 v.b şeklinde yazılabildiği için 144 sayısının çarpanları içinde 1,2,144,72… v.b vardır.

Ancak 144=-1.-144 veya 144=-2.-72 şeklinde de yazılabilir. Bu nedenle;

-1,-2,-3,-4,-6,-8,-9,-12,-16,-18,-24,-36,-48,-72,-144 sayıları da 144’ün birer tam sayı bölenidir. Bundan dolayı 144’ün pozitif tamsayı bölenleri kadar bir de onların negatif işaretlisi olan negatif tamsayı bölenleri vardır. Yani;

144’ün pozitif tam sayı bölenler 15 tanedir.

144’ün negatif tam sayı bölenleri 15 tanedir,

144’ün tüm tamsayı bölenleri 30 tanedir.

144’ün tamsayı bölenlerinin toplamı sıfırdır. (artılar eksileri sıfırladığı için.)

**8.sınıf kazanımları sadece pozitif tam sayı bölenleri buldurmaya yöneliktir.

Önemli Bilgi: Sayının Asal Çarpanları

Sayının pozitif çarpanlarının içinde ki asal olan sayılar kullanılan sayının asal çarpanlarıdır.

Örneğin; 54 sayısının çarpanları: 54=1,2,3,6,9,18,27,54 tür.

Bu çarpanlar içinde bulunan 2 ve 3 sayıları asaldır. Bu nedenle 54 sayısının asal çarpanları 2  ve 3 tür.

Asal sayılar ile ilgili ayrıntılı bilgi için TIKLAYINIZ

B) Sayıların Çarpanlarının Çarpımı Şeklinde Yazılması;

120=30.4=15.2.4=3.5.2.4=3.5.2.2.2 gibi çarpanlarının çarpım durumundaki haline çarpanlarının çarpımı olarak yazma denir. Yani; 30.4 ifadesi 120 sayısının çarpanlarının çarpımı şeklinde yazımıdır. Benzer şekilde, 15.2.4 , 3.5.2.4  ve 3.5.2.2.2 ifadeleri de 120 sayısının çarpanlarının çarpımı şeklinde yazımıdır.

Örneğin; 70 sayısının çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali;

70=14.5=2.7.5 şeklindedir.

C) Sayıların Asal Çarpanlarının Çarpımı Şeklinde Yazılması;

Sayılar çarpanlarının çarpımı şeklinde yazıldığında daha fazla parçalanamaz halde ki durum sadece asal sayılardan oluşan durumdur. Bu nedenle bu haldeki çarpanların çarpımına özel olarak asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma denir.

Örneğin;  80=8.10=4.2.5.2=2.2.2.5.2 ifadesinde sayılar parçalanarak farklı farklı çarpanların çarpımı şeklinde yazma işlemi yapılmıştır. En sonda bulunan 2.2.2.5.2 ifadesi sadece asal sayılardan oluşan daha fazla parçalanamaz haldedir. İşte bu yazıma asal çarpanların çarpımı şeklinde yazma denir.

Örnek; 200=10.20=5.2.5.4=5.2.5.2.2  ifadesinde

10.20     5.2.5.4    ve    5.2.5.2.2 ifadeleri 200 sayısının çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hallerinden üçüdür.

Bu hallerden 5.2.5.2.2 ifadesi daha fazla parçalanamaz asal çarpanların çarpımı şeklinde yazımıdır.

Sayının asal çarpanlarının çarpımını bulmak için çoğunlukla Bölme Algoritması yöntemi kullanılır.

Bölme Algoritması İle Asal Çarpan Yazımı

Algoritma ne demektir?

Algoritma; yapılacak bir işi veya bir çözümü yaptırtmak için uygulanması gereken yönerge şeklinde tanımlanabilir. Daha çok bilgisayar programcıları ve matematikçiler kullanır.

Örnek bir algoritma;

Şimdi gelelim bölme algoritmasına;

Sayının bölünebildiği asal sayılar bölme çizgisinin sağına bölüm sonucu sol kısma yazılır. 180 sayısının bölme algoritması ile asal çarpanlarının çarpımını yazalım;

Ayrıca bu yol ile elde edilen 2.2.3.3.5 ifadesinden şu çıkarımı da yapabiliriz. 180’in asal çarpanları 2,3 ve 5 tir.

D) Sayıların Üslü Sayı Biçiminde İfadesi;

Sayının çarpanlarının çarpımı veya asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali genellikle tekrarlı çarpımlar içerir. Bu nedenle o yazımları üslü ifade ile göstermek kolaylık sağlar.

Örnek; 275 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılması ve üslü ifade biçiminde gösterilmesi bölme algoritması ile aşağıdaki şekilde bulunabilir.

E) Asal Çarpanlarının Çarpımı Verilen Sayıyı Bulma;

2.2.3.5.5 Biçiminde asal çarpanlarının çarpımı verilen sayı çarpma işlemi yapılarak 300 olarak hesaplanabilir.

Benzer şekilde,

3.3.7 Biçiminde asal çarpanlarının çarpımı verilen sayı çarpma işlemleri yapıldığında 63 olarak hesaplanabilir.

F) Asal Çarpanlarının Çarpımı Üslü Sayı Biçiminde Verilen Sayıları bulma;

Üslü sayıların değerleri bulunup çarpma işlemleri yapılarak sayılar bulunabilir.

G) Üslü İfadeli Yazımda İstenen Değişkenin Değerini Yerine Yazma;

Ğ) Çarpan Ağacı ile Çarpan Bulma;

Çarpan bulmanın en ilkel yolarından biridir. Sayı ilk aşamada iki çarpanı ile dallara ayrılır. Daha sonra çarpanların ayrılan dallar oluşturulur.

Buraya kadar olan kısımda çarpanlar ve katlar ile ilgili temel konulardan bahsedilmiştir. 2.bölüm de ise ebob ve ekok konuları ele alınacaktır.

5.SINIF VE 6.SINIF KONU ANLATIMLARI

5.SINIF VE 6.SINIF KONU ANLATIMI VİDEOLARI

ÜSLÜ SAYILAR KONU ANLATIMLARI

5.SINIF VE 6.SINIF ÜSLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI

5.SINIF VE 6.SINIF ÜSLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI

SAYILARIN OKUNUŞU ÜSLÜ SAYININ KARESİ ÜSLÜ SAYININ KÜPÜ ÜSLÜ SAYININ BİRİNCİ KUVVETİ

5.SINIF


6.SINIF

7.SINIF KONU ANLATIMI VİDEOLARI

7.SINIF KONU ANLATIMI VİDEOLARI

ÜSLÜ SAYILAR KONU ANLATIMLARI

7.SINIF ÜSLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI

7.SINIF ÜSLÜSAYILAR TEK VE ÇİFT KUVVET KONU ANLATIMI

8.SINIF ÇARPANLAR VE KATLAR KONU ANLATIMI

8.SINIF (TEOG-1)

 ÇARPANLAR VE KATLAR KONU ANLATIMI VİDEOLARI

1.BÖLÜM      TEMEL KAVRAMLAR

2.BÖLÜM        EBOB VE EKOK
ARALARINDA ASAL (ASALLIK)




3.BÖLÜM      SORU TİPLERİ

8.SINIF KONU ANLATIMI VİDEOLARI

8.SINIF KONU ANLATIMI VİDEOLARI
TEOG-1 KONULARI

ÇARPANLAR VE KATLAR KONU ANLATIMLARI




ÜSLÜ SAYILAR KONU ANLATIMLARI

ÖTELEME KONU ANLATIMI

ÖTELEME KONU ANLATIMI

     1-)      ÖTELEME

Öteleme: Bir cismin belirli bir yön ve doğrultuda belirli bir ölçüde yaptığı yer değiştirme hareketidir.

Bir öteleme ancak öteleme yönü ve öteleme miktarı belli ise gerçekleştirilebilir.

Uyarı: Matematikte düzlemde yönler.

Ötelemede görselde de belirtildiği gibi dört adet yön vardır. Bunlar;

 Sağ(+x) yönü

Sol(-x) yönü

Yukarı(+y) yönü

Aşağı(-y) yönü

Buradan da anlaşılacağı üzere çapraz yön kullanılmamaktadır. Onun yerine bu yönlerden farklı doğrultuda olan ikisi kullanılarak çapraz yer değiştirme yapılmış olur.



Ayrıca düzlemde öteleme yaptığımız için x ve y olmak üzere iki doğrultumuz vardır.

Örnek bir öteleme;

Verilen görselde de görüldüğü gibi, öteleme sonucunda ötelenen cismin yeri(konumu) değişir. Ancak şekli, yönü, biçimi, duruşu, rengi, kokusu gibi çoğaltılabilecek birçok özelliği değişmez. 

Dikkat: Ötelenen cisim veya bir şekil ise şekil üzerindeki tüm noktalar aynı ölçüde yer değiştirir. Aynı bir otomobilin tekerleri gibi hepsi aynı ölçüde yol alır ve yer değiştirir. Bu nedenle bir şeklin öteleme sonucu yeni yerini bulmak için içinden seçilen herhangi bir noktanın ötelenmesi yeterli olabilir. Çünkü şekil ötelenen o nokta baz alınarak oluşturulabilir. Bir noktanın yeterli olmadığı durumlarda daha fazla sayıda da öteleme yapılabilir.

Kareli Kâğıtta Öteleme;

Genellikle hesaplama içermeyen görsel öteleme sorularının oluşturduğu kısımdır. Öteleme sonucu şeklin yeni yeri ile eski yerini belirleme kareler sayesinde kolaylıkla yapılabilir.

Yanda bir noktanın yaptığı öteleme yani yer değişikliği hareketi görülmektedir.

Aşağıda verilen öteleme örneği incelendiğinde bütün noktaların aynı miktarda yer değiştirdiği görülmektedir.

Uyarı: Kareli kâğıtta öteleme yapıldığında öteleme sonucu ile şeklin ilk hali iç içe geçmiş olabilir.

Koordinat Sisteminde Öteleme

Genellikler hesaplama içeren öteleme sorularının bulunduğu kısımdır.

Verilen bir nokta ötelendiğinde oluşan değişimler gözlenerek bir kurala varılabilir. Bundan dolayı uzun vadede herhangi bir kural ezberlenmemeli sadece küçük çapta bir örnekle değişimler gözlenerek o an için bir kurala varılmalıdır. Şimdi değişimleri gözlemek için herhangi dört nokta seçelim. 

 Ve öteleme hareketleri yapalım

ötele yaptığımızda sonuçlar aşağıdaki gibi olacaktır.

Sonuç olarak herhangi bir nokta hangi eksende öteleniyorsa, noktanın o bileşeninde değişiklik olur. Değişiklik eğer eksi yön ise azalma artı yön ise artma şeklinde olur.

Bu durumu cebirselleştirirsek; Seçilen herhangi bir M(x,y) noktasının dört yönde de a birim ötelenmesi ile oluşacak değişimleri oluşturalım;

Dikkat: Eğer öteleme bir şekil üzerinde yapılıyorsa, şekil üzerindeki noktalara aynı öteleme uygulanarak şeklin yeni yeri bulunabilir.

Yandaki şekilde de görüldüğü gibi verilen üçgenin tüm noktaları eşit ölçülerde hareket edeceğinden şeklin yeni yerini bulmak için hangi yönde öteleniyorsa o bileşenlere işlem yapmak yeterlidir. çoğu zaman çizime gerek olmadan öteleme yapılabilir.

Yani

A(3,2) öteleme sonucu A'(-5,2) 

B(2,4) öteleme sonucu B'(-6,4)

C(6,3) öteleme sonucu C'(-2,3)

şekline olacağından çizime gerek kalmadığı durumlarda bu şekilde teorik yazılabilir.

Öteleme Simetrisi

Öteleme simetrisi, simetri sözcüğünün en genel anlamına uygun bir simetri türüdür.

Simetri sözcük olarak; iki ya da daha fazla cisim arasında konum, biçim ve belirli bir eksene göre ölçü uygunluğudur.

Ötelemede de şekil ile ötelenmiş hali arasında hem bir eşlik hem de ölçülebilir bir yer değişikliği vardır. Belirli bir eksene göre yansıma simetrisinden farklı olarak bir konum benzerliği vardır. Bu durumdaki şekil ve ötelenmiş hali öteleme simetrisine sahiptir.

TAM SAYILAR KONU ANLATIMI (6.SINIF 7.SINIF)

SAYMA PULLARI İLE TOPLAMA ÇIKARMA İŞLEMİ (6.SINIF 7.SINIF)

ÜSLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI (6.SINIF)

ÜSLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI (6.SINIF)

Kazanım: Doğal Sayıların kendisi ile tekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder ve değerini belirler. Taban, kuvvet(üs) ve değer kavramlarını açıklar.

Biri beni sırtında taşısın

Matematikte aynı sayının tekrar tekrar çarpımı ile oluşacak sonucun daha kullanışlı ve işlem yapılabilir kolaylığa indirgenmesi amacı ile üslü sayılar halinde kullanılır.

Bu kullanım çarpılan sayılar arttığın daha da kolaylaştırıcı bir durum alır. Örneğin,

**Bu durumdaki gibi, tekrarlı çarpımlar sayıdan kaç tanesinin yan yana çarpıldığı sayının sağ üst köşesine yazılıp üslü hale getirilerek kullanılabilir.

Görüldüğü gibi sayının üzerindeki kuvvet kaç ise aynı sayıdan o kadar yan yana yazılıp çarpılacak demektir. Örneğin;